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相伴丛语言在表达旋量丛的意义是有用的。spin structure（spin structure）的存在是实向量空间上额外的信息。

这里涉及了两个群 SO 与 Spin（对给定的符号），前者有一个忠实的维矩阵表示，但后者（一般）只忠实的作用在更高维的旋量空间。Spin 是 SO 单位分支的二重复盖，所以后者是前者的一个商（如果 p 和 q 都不是零，则特殊正交群有两个分支，而自旋群 Spin 只有一个）。这意味着取值于 Spin 的转移数据自动给出 SO 的转移数据：转到商群失去了一些信息。

从而一个 Spin-丛总给出一个相伴以为纤维的丛，因为 Spin 通过其商 SO 作用在上。反过来，对 SO-丛有一个提升问题：要变成一个 Spin-丛，在转移数据上有一个一致性问题。已经知道这个提升的阻碍是第二Stiefel-Whitney class（ Stiefel-Whitney class）。

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绿头山蜂鸟（学名：Oreotrochilus stolzmanni），是雨燕目蜂鸟科的一种鸟类。

绿头山蜂鸟体重约8.7克，翼长约72.6毫米，嘴峰长约22.7毫米，喙宽度约2.1毫米，喙厚度约2.1毫米，跗跖长约4.6毫米，尾长约51.7毫米。绿头山蜂鸟在其分布区内为留鸟，其栖息在开放的草原环境中，食性为草食性，主要食物来源是植物的花蜜。

绿头山蜂鸟分布于秘鲁北部和中部的安第斯山脉（卡哈马卡省，瓦努科省）和邻近的厄瓜多尔南部。该物种是单型物种，没有亚种分化。

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* 加纳达藏品博物馆（Fondation Pierre Gianadda）

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