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一整数b的因数a为其元因数的充份必要条件是a的每一个质因数，其乘幂次数都和该质因数在b出现的次数一様。若整数b为无平方数因数的数，其所有因数均为元因数。

一个整数元因数的和表示为σ*(n)。元因数k次方的和表示为σ*k(n):

若一个整数真元因数（小于整数的元因数）的和为整数本身，此整数称为元完全数。

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摩揭陀俗语(Magadhi Prakrit (Ardhamāgadhī))是古印度的一种语言，属普拉克里特诸语言之一。在梵语和巴利语相继没落之后，摩揭陀俗语成为古印度的书面语言之一。

摩揭陀俗语使用范围为印度次大陆的东部，包括今日印度东部、孟加拉国和尼泊尔。佛教创始人释迦牟尼和耆那教创始人摩诃毗罗都是摩揭陀俗语的使用者。在印度列国时代，该语言是摩揭陀的宫廷语言，后来也是孔雀王朝的宫廷语言。阿育王诏书便是用该语言写成。

摩揭陀俗语后来发展成为印度-雅利安语支的东部诸语，包括阿萨姆语、孟加拉语、奥里亚语和比哈尔诸语（包括博杰普尔语、迈蒂利语、摩揭陀语等语言）。

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陕北之战，大顺永昌元年（清世祖顺治元年，1644年）十二月，清军与李自成大顺军在陕北进行的战役，与同时的潼关之战导致大顺的迅速灭亡。

李自成亲率大顺军主力在潼关与多铎部清军决战时，清朝英亲王阿济格统军进入陕北。其部下有固山额真谭泰等满军，平西王吴三桂、智顺王尚可喜及从宣府、大同、山西调拨的降附军。大顺毫侯李过守延安，高一功守榆林。阿济格命姜瓖统领明朝降兵围攻榆林，自己带主力经过米脂攻延安。李过在延安同清军展开七次激战。大顺军两次乘夜反击，但兵力不足，未能奏效。1644年十二月，清军克延安。李过率军向西转移；阿济格率清军主力南下西安。高一功据守榆林半月之后，得知李自成放弃西安，料一城自难久守，主动放弃该地，实力没有多大损失。1645年正月十四日夜间，唐通与阿济格委任的榆林巡抚赵兆麟进入榆林。

李过、高一功率部向西转移，先到宁夏的惠安堡，然后会合了镇守西北甘肃、青海（当时为西宁卫）等地的大顺军党守素、蔺养成、贺兰等部一道向南撤退。其他奉大顺之命驻守西北原明朝将领如马科、左瓖、牛成虎等都投降清朝。李过、高一功等计划由陕西汉中入蜀，顺长江东下湖北。镇守汉中的大顺军旧部贺珍、罗岱、党孟安、郭登先四将降清，阻击李过、高一功等部。李过、高一功等部由汉中南下四川太平、东乡、达州、夔州等处，然后顺江东下，在1645年夏抵达荆州。李过、高一功领导的经四川入湖广的部队成了后期大顺军联明抗清的主力。

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