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有了上述引理，就可以利用probabilistic method证明原来的交叉数不等式。设为待定的概率参数，依如下步骤构造的随机子图：1. 以概率独立随机选取的各个顶点；2. 若中一条边的两个顶点皆被选中，则在子图中构造连接这两个顶点的边。分别以、和表示的边数、顶点数和交叉数。由于是的子图，的画法已含有的画法。由引理，得
由于中每个顶点选入中的概率为，有。类似知中每条边入选的概率为（因为其两端皆要入选），所以。最后，在的画法中，每个交叉有的概率落入，因为每个交叉牵涉四个顶点。（若从同一个顶点出发画出两条边有交叉，则不妨将两条边第一次相交以后的部分对调，从而令交叉的数目变少。由于所考虑的画法仅得个交叉，无法再减少交叉，所以每个交叉必由两条无公共端点的边组成。）因此，，于是上式可写成
若图的围长大于且，2000将不等式改进成
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陈鑫自1908年开始撰写此书，于1919年定稿，原名《陈氏太极拳图画讲义》。陈鑫将部分的书稿交给一名族孙送往南京出版，但因中途遗失而未果。在陈鑫去世之前，将剩余的部分书稿交给兄长的儿子陈椿元。陈椿元及其4名亲人对这些书稿进行整理和补遗，1933年由开明书局正式出版。
1993年，陕西省版权局认定陈椿元等五人为《陈氏太极拳图说》的合作者，享有该书的版权。
2001年10月，陈氏后人陈东山等人以侵犯著作权为由向未经许可出版《陈氏太极拳图说》的上海世纪出版集团上海书店提告。2002年9月，西安市雁塔区人民法院一审判决，陈氏后人胜诉。上海书店不服判决，提出上诉；2002年12月9日，西安市中级人民法院判决，上海书店须停止出版《陈氏太极拳图说》、向陈东山等人赔礼道歉，并赔偿人民币七万九千余元。
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