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所有二进分数组成的集合在实数轴上是稠密的：任何实数都可以用形为的二进分数无限逼近。与实数轴上的其它稠密集，例如有理数相比，二进分数是相对“小”的稠密集，这就是为什么它们有时出现在证明中（例如乌雷松引理）。
任何两个二进分数的和、积，与差也是二进分数：
但是，两个二进分数的商则一般不是二进分数。因此，二进分数形成了有理数的一个子环。
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2000年，彭伟昌获委任为区域法院法官，2009年获委任为高等法院原讼法庭法官。2015年被任命为高等法院上诉法庭法官。
2018年9月21日，彭伟昌当选中殿堂议员议员。
2023年5月，美国国会及行政当局中国委员会建议美国政府对彭官实施制裁，因其处理黎智英案等港版国安法案件而侵蚀香港自由民主法治。
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《快乐的科学》（意大利语：la gaya scienza），又作《欢愉的智慧》（德语：Die fröhliche Wissenschaft）为德国哲学家尼采所著的一本哲学作品，初版于1882年，主要以许多简短的格言集结而成。许多尼采著名的概念都首次出现于本书，如上帝已死（108节）、永恒轮回等。在此书中尼采的经验主义及怀疑主义达到最高峰。
关于永恒轮回：「你现在的人生，至今曾有的生活，都会再一次、甚至无限次地倒回重来。……所有的经验并不会放大或缩小，而是依照完全一样的顺序回来。」 －－《快乐的科学》
* 《欢悦的智慧》志文出版 1982年出版 余鸿荣译
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