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给定具有无穷个顶点但每个顶点的度有限的连通图G,则对G的任意顶点都至少存在一条无穷的简单路径。
对G的任意顶点v1,因G连通,故v1到G的任意顶点都存在简单路径。由于G存在无穷个顶点,故存在从v1出发的一个无穷的简单路径集。考虑这个无穷简单路径集。因v1的度有限,故该无穷集必然有一个无穷子集通过v1的某个相邻顶点v2。同理,考察通过v1、v2的该无穷简单路径子集,因v2的度有限,故这些无穷简单路径又存在一无穷子集通过v2的某个相邻顶点v3,注意v3≠v1。以此类推,可得一无穷简单路径v1v2v3...。
* 上述证明为非构造证明,只说明存在性,但没有给出计算该路径的算法(事实上,该算法不存在)。
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* 拉罗、布鲁赫、维尼亚夫斯基:小提琴协奏曲
* 巴赫、莫扎特、勃拉姆斯 :小提琴协奏曲
* 莫扎特、泰勒曼、J.C. 巴赫、雷哈:三重奏,四重奏
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无差拍控制(dead-beat control)是离散控制理论的一种问题,是针对特定系统,要找到可以在最短时间内让输出进入稳态的输入信号。
可以证明在N阶的线性系统中,若系统为零可控(null controllable,是指可以利用特定输入使状态变为0),其最少的步数不会超过N步(依初始条件而不同)。 解法是用反馈的方式,使闭回路转移函数的极点都在z平面的原点(有关z平面及转移函数的细节,请参考Z转换)。因此线性系统的例子很容易找到解。因此一个极点都在z平面的闭回路转移函数有时也会称为无差拍转移函数(dead beat transfer function)。
非线性系统的无差拍控制是一个仍在研究中的问题(可以参考以下Nesic的参考资料)。
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