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更新于 2026-10-07

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伯恩赛德引理(Burnside's lemma),也叫伯恩赛德计数定理(Burnside's counting theorem),柯西-弗罗贝尼乌斯引理(Cauchy-Frobenius lemma)或轨道计数定理(orbit-counting theorem),是群论中一个结果,在考虑对称的计数中经常很有用。该结论被冠以多个人的名字,其中包括William Burnside、波利亚、柯西和弗罗贝尼乌斯。这个命题不属于伯恩赛德自己,他只是在自己的书中《有限群论 On the Theory of Groups of Finite Order》引用了,而将其归于1887。

下文中,设 是一个有限群,作用在集合 上。对每个 属于 令 表示 中在 作用下的不动元素。伯恩赛德引理断言轨道数(记作 )由如下公式给出:

从而轨道数(是一个自然数或无穷)等于被 G 中一个元素保持不动的点个数的平均值(故同样是自然数或无穷)。

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