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另一个定义: 是函数在闭区间上的黎曼积分,当且仅当对于任意的,都存在一个取样分割、,使得对于任何比其“精细”的分割 and ,都有:
这两个定义是等价的。如果有一个满足了其中一个定义,那么它也满足另一个。首先,如果有一个满足第一个定义,那么只需要在子区间长度最大值的分割中任取一个。对于比其精细的分割,子区间长度最大值显然也会小于,于是满足
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黄幡绰,一作旙绰。唐玄宗时宫廷乐官,凉州武威人,为人滑稽谐趣,曾讥讽张说以封禅提拔己婿郑镒。亦善参军戏,能劝谏玄宗,颇得宠爱。安史之乱时被安禄山所擒,亦为安之乐官。唐肃宗还都后,黄幡绰以「从贼」之罪,被拘禁。玄宗为上皇,感其悲意而释之。晚年流落姑苏。葬于昆山。诗作录于《全唐诗》。书法甚工,曾书霓裳羽衣曲碑在河中永济。
一日唐玄宗击鼓时,召唤黄幡绰合奏,但黄幡绰因事出宫,怎么等都等不到的玄宗,龙颜大怒,令宫中宦官与校尉找出黄幡绰。玄宗取了马鞭,放在身侧,准备把黄幡绰打一顿。校尉找到黄幡绰,一起走到殿前,但幡绰听到玄宗击鼓声音,又快又急,知道皇帝大怒,拜托宦官与校尉先不要禀告,表示会自己随即进去,第二曲时鼓声逐渐慢下来,却仍然用力很猛,皇帝奏完时,问:「幡绰竟何在?」幡绰知道皇帝余怒未消,又拜托宦官先不要禀告。第三曲时,鼓声相当柔和,幡绰于是进入宫殿,立刻叩首。唐玄宗放下鼓槌,问:「你为何擅离宫禁?」幡绰惶恐地回答:「臣家中亲戚到长安,失落盘缠,无以归家,托人告臣。臣急忙前去接济,不知道陛下在奏乐,万死之罪。」皇帝拿了鼓槌轻轻打了幡绰一下:「接待亲友,这是人之常情,何不禀报就擅自离宫?我刚才大怒,准备好鞭打你了,现在我气也消了,就赦免你好了,来合奏一曲罢!」宫中都佩服幡绰的见识。
黄幡绰曾替安禄山解梦,禄山梦见衣服袖子太长,幡绰说「这代表垂衣而治。(帝王以道家思想治理天下)」。禄山又梦见阁楼倒塌,幡绰说:「旧的倒下了,新的才能盖好。(唐朝倒了,安禄山才能得手)」安史之乱平定后,黄幡绰向玄宗辩解说:「臣不知道陛下行在蜀国,我陷于贼营,只能暂且哄安禄山,保留性命才能再见陛下,我其实知道那些都不是好梦。」玄宗问“你怎么知道?”幡绰说:“禄山梦见袖子长,是说他『不得出手』啊;梦见阁子倒了,是说他『终究得不到』了。所以我早就知道了。”玄宗大笑。
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