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考虑的一个仅得个交叉的画法。可以在每个交叉删走其中一条边，从而消除所有交叉。于是，剩下的边组成一幅平面图（因为不再有交叉），其边数至少为，顶点数则仍旧为。根据平面图的欧拉公式，，所以上述估计成立。（更准确来说，对于，有。）
有了上述引理，就可以利用probabilistic method证明原来的交叉数不等式。设为待定的概率参数，依如下步骤构造的随机子图：1. 以概率独立随机选取的各个顶点；2. 若中一条边的两个顶点皆被选中，则在子图中构造连接这两个顶点的边。分别以、和表示的边数、顶点数和交叉数。由于是的子图，的画法已含有的画法。由引理，得
由于中每个顶点选入中的概率为，有。类似知中每条边入选的概率为（因为其两端皆要入选），所以。最后，在的画法中，每个交叉有的概率落入，因为每个交叉牵涉四个顶点。（若从同一个顶点出发画出两条边有交叉，则不妨将两条边第一次相交以后的部分对调，从而令交叉的数目变少。由于所考虑的画法仅得个交叉，无法再减少交叉，所以每个交叉必由两条无公共端点的边组成。）因此，，于是上式可写成
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许多雄激素借由新陈代谢送到身体中的化合物（同时也和雌激素交互作用），产生一些负面效应。
能够促进雄性化的荷尔蒙可以有许多用处，不过在使用的过程中往往出现干扰的雌性化反应。许多合成的同化性类固醇是被设计为能够制造出更多的雄性激素而非产生雌性化反应。
其他副作用，包括了高血压，胆固醇上升，皮肤痤疮，提早秃头，性功能减退以及睪丸萎缩。部份男性使用者会发生男性女乳的症状。女性使用者则是体毛增长，声音变低沈，乳房萎缩，阴蒂涨大以及经期不规律甚至停经。部分副作用是无可避免的。对孩童及青少年来说，亦会造成性早熟及骨骼发育提早结束进而影响日后的身高。对长期使用者来说，肝功能及内分泌系统会严重的受损。
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