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庞加莱引理断言：如果 是 中可缩开子集，对任何整数 ，任何定义在 上的光滑闭 -形式 是恰当的（这只在 有内容）。
可缩意味着存在同伦映射 将 形变为一点。从而任何 中的闭链 都是某个“锥”的边缘；我们可以取锥为 在同伦下的像。这个性质的对偶版本给出了庞加莱引理。
更确切地，我们将 与柱 联系起来，分别通过映射 与与顶端和底面等价。在微分形式上，诱导拉回映射 与 由上链同伦联系：
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第一位参与打破世界转会费记录的西甲球员是路易斯·苏亚雷斯，他于1961年从巴塞罗那转会至国际米兰，转会费为15.2万英镑（相当于1961年的152万英镑，按照英国通胀率计算）。12年后，约翰·克鲁伊夫成为第一位以92.2万英镑（相当于1973年的922万英镑，按照英国通胀率计算）的转会费加盟西甲俱乐部，他从阿贾克斯转会至巴塞罗那。1982年，巴塞罗那再次创造了转会费记录，以500万英镑的价格从博卡青年签下迭戈·马拉多纳。 1998年，皇家贝蒂斯以2150万英镑的价格从圣保罗签下德尼尔森，创下了世界纪录（相当于1998年的2150万英镑，按照英国通胀率计算）。
过去6次打破世界转会费记录的有4次是由皇家马德里完成的，他们签下了路易斯·菲戈、齐内丁·齐达内、克里斯蒂亚诺·罗纳尔多（加上在罗纳尔多之前几天与卡卡签约的交易，由于费用计算方式的不同，这次转会的费用略低于世界纪录）和加雷斯·贝尔。在2013年，贝尔以8530万英镑（合1.034亿欧元或1.4亿美元，按当时汇率计算，相当于2013年的8530万英镑，按照英国通胀率计算）从托特纳姆热刺加盟。
巴西前锋内马尔在2013年从桑托斯加盟巴塞罗那时，经历了一次昂贵且复杂的转会安排。他在2017年转会至巴黎圣日耳曼时，通过他的买断条款创造了一笔新的世界转会费记录，达到2.22亿欧元。巴塞罗那很快将这笔转会所获得的大部分资金投入到了引援上，签下了乌斯曼·登贝莱，其转会费为1.05亿欧元，这是自菲利普·库蒂尼奥在2018年1月转会至巴塞罗那的1.42亿欧元之后，第二贵的转会费。
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2016年8月13日，他在里约奥运会跳远决赛中以8米17排名第五位。
2018年8月26日，他在雅加达亚运会男子跳远项目决赛中夺得金牌。
2022年7月16日，他在2022年世界田径锦标赛男子跳远决赛中最后一跳绝杀2020年东京奥运会冠军米尔蒂亚季斯·滕托格卢，以8米36的成绩取得冠军。他也成为了中国队继刘翔、王浩、陈定后第四位男子田径世锦赛冠军，也是其中第一位田赛冠军。
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