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自由法国军队中的乔治·蒂埃里·阿让利厄上尉认为洛林十字作为自由法国标志最合适不过了,既能回忆法国著名军事家圣女贞德,又能对轴心国展现其自身不懈的斗志。
当时,英国亦处于德国的威胁,于是邱吉尔决定承认戴高乐建立的自由法国政府,与德国和义大利抗衡,但只是一个流亡政府。而全球当时除了英国以外的国家,皆承认德国的傀儡政权维希法国为正式的法国政府,但在1941年苏德战争爆发后,苏联也承认自由法国。日本偷袭珍珠港后,美国等其他同盟国向德国和义大利、日本等轴心国宣战,同时也转向支持自由法国政府。
自由法国政府获得了当时法国殖民地法属赤道非洲的承认。
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考虑的一个仅得个交叉的画法。可以在每个交叉删走其中一条边,从而消除所有交叉。于是,剩下的边组成一幅平面图(因为不再有交叉),其边数至少为,顶点数则仍旧为。根据平面图的欧拉公式,,所以上述估计成立。(更准确来说,对于,有。)
有了上述引理,就可以利用probabilistic method证明原来的交叉数不等式。设为待定的概率参数,依如下步骤构造的随机子图:1. 以概率独立随机选取的各个顶点;2. 若中一条边的两个顶点皆被选中,则在子图中构造连接这两个顶点的边。分别以、和表示的边数、顶点数和交叉数。由于是的子图,的画法已含有的画法。由引理,得
由于中每个顶点选入中的概率为,有。类似知中每条边入选的概率为(因为其两端皆要入选),所以。最后,在的画法中,每个交叉有的概率落入,因为每个交叉牵涉四个顶点。(若从同一个顶点出发画出两条边有交叉,则不妨将两条边第一次相交以后的部分对调,从而令交叉的数目变少。由于所考虑的画法仅得个交叉,无法再减少交叉,所以每个交叉必由两条无公共端点的边组成。)因此,,于是上式可写成
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1945年左右,全家搬回芝加哥,他在1945年至1956年间担任《科学文摘》(Science Digest)的副主编,1958年又搬到洛杉矶。1969年,其妻去世,他定居旧金山,酗酒度日。他花了近20年才逐渐从丧妻的伤痛中走出来。
可能是由于纵酒过度,他在1970年代的经济状况极不乐观。哈兰·埃里森曾发现他只能靠架在水池上的人工打字机写作。在1976年拜访了莱伯之后,马可·雷德洛也说他震惊于莱伯住处的狭小和拥挤。他晚年由于得到了TSR支付的版税,生活条件得到大幅改善。
1992年,莱伯再婚,第二位妻子马戈·斯金纳(Margo Skinner)是一位记者、诗人,也是他多年的好友。但在当年9月5日莱伯就去世了。马戈说他的死因是中风。
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