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设为微分流形，为上一点。利用上的仿射联络，可以定义过点的测地线。
设为于点的切向量，则独有一条测地线满足，而初始切向量为。对应的指数映射由
定义。一般而言，指数映射不必在全个有定义，而衹有局部定义，即定义域是原点的小邻域，映到在流形上的某邻域内。原因是，测地线之所以存在（和唯一），藉赖常微分方程解的柯西-利普希茨定理，但该定理是仅在局部成立。若指数映射在切丛处处有定义，则该线性联络称为完备。
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铜矿里大约有二十亿吨铜石。中国铝业计划从2011年开始采矿。
中国铝业从秘鲁政府得到了许可（3,000,000,000美元）, 采矿的成本为410美元每吨(市场价为8,255美元每吨, 比 Toromocho 的价钱多20倍)。
山上的 Morococha 村有几百人口，采矿的时候这些人必须调迁。中国铝业会给每人提供2,000美元和居住条件。
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外喀尔巴阡州下的原13个行政区在2020年7月18日整并为6个行政区：
* 贝雷霍韦区（Берегівський район），区府贝雷霍韦
* 胡斯特区（Хустський район），区府胡斯特
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