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共质体途径（symplast pathway）是植物的根吸收水和无机盐的一种方式，与质体外途径相对。水及离子透过根毛细胞膜上的小通道进入植物体内，再透过细胞与细胞间的小孔道原生质丝，经由皮层、endodermis及周鞘进入根内部木质部的导管细胞，此种运送途径称为共质体运输（symplast transport）。
共质体运输经过细胞膜要消耗能量，运用主动运输。在运送途中，有些水及离子可以输入液胞贮存，有些从液胞输出。而采用质体外途径运输的物质透过细胞壁运输，会被内皮层的卡氏带所阻，被迫改以共质体途径穿透细胞膜后才能抵达周鞘，进而进入维管束中的木质部。
共质体途径最早于1879年由原生质丝的发现者Eduard Tangl发现，共质体（symplast）之名则是1880年由德国植物学家Johannes von Hanstein所取。共质体与质外体相对的概念于1930年由德国植物学家Ernst Munch所采用。
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有了上述引理，就可以利用probabilistic method证明原来的交叉数不等式。设为待定的概率参数，依如下步骤构造的随机子图：1. 以概率独立随机选取的各个顶点；2. 若中一条边的两个顶点皆被选中，则在子图中构造连接这两个顶点的边。分别以、和表示的边数、顶点数和交叉数。由于是的子图，的画法已含有的画法。由引理，得
由于中每个顶点选入中的概率为，有。类似知中每条边入选的概率为（因为其两端皆要入选），所以。最后，在的画法中，每个交叉有的概率落入，因为每个交叉牵涉四个顶点。（若从同一个顶点出发画出两条边有交叉，则不妨将两条边第一次相交以后的部分对调，从而令交叉的数目变少。由于所考虑的画法仅得个交叉，无法再减少交叉，所以每个交叉必由两条无公共端点的边组成。）因此，，于是上式可写成
若图的围长大于且，2000将不等式改进成
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