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更新于 2026-10-27

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利用隐函数定理将曲面用二元函数f的图像来表示,并且假设点p为临界点,也即f在该点的梯度为0(这总是可以通过适当的刚体运动来实现)。然后p点的高斯曲率就是f在点p的黑塞矩阵(二阶导数组成的2x2矩阵)的行列式。这个定义只要用基本的微积分知识就可以理解杯底或者帽顶“对应”鞍点的区别。

曲面上某个区域的高斯曲率的曲面积分称为总曲率。测地三角形(即黎曼球面几何中的三角形)的总曲率等于它的内角和与的差。正曲率曲面上的三角形的内角和大于,而负曲率曲面上的三角形的内角和小于。零曲率曲面上(如欧几里得平面),其内角和等于。

高斯的绝妙定理断言曲面的高斯曲率由曲面上长度的测量本身决定。事实上,它完全由第一基本形式决定并且可以用第一基本形式及其一阶和二阶偏导数表达。等价地,嵌入在R3中的曲面的第二基本形式的行列式也可以这样表达。定理的"绝妙"之处在于,虽然R3中的曲面S上的高斯曲率的定义明显依赖于曲面各点在空间中的定位,而高斯曲率本身只要曲面上的内在度量就可以决定,而与环境空间没有进一步的关联:它是一个内蕴不变量。精确地讲,高斯曲率在曲面的等度变换下保持不变。

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中行说(注音:ㄓㄨㄥ ㄏㄤˊ ㄩㄝˋ,汉语拼音:Zhōngháng Yuè,读音“中航越”),燕(今河北省)人,西汉时期宦官,后来投靠匈奴,侍奉老上、军臣两代匈奴单于。生卒年史书未载。

中行说是燕人,后担任宫廷宦官。前174年,匈奴老上单于继位,汉文帝派皇族公主前往匈奴和亲,又派中行说随同辅佐公主。中行说不愿接受这个任务但被强迫前往,临行前他说:“如果一定要让我去的话,我将成为汉朝的祸患。”果然中行说一到达匈奴后立即投靠老上单于,并深得单于的信任。

匈奴人十分喜欢汉朝进贡的缯絮和食物,中行说向老上单于指出:匈奴的人口数量不及汉朝的一个郡,之所以强大的原因在于匈奴人的衣食习俗与汉人不同。如今单于喜欢汉朝进贡的衣物食品,他们所进贡的物品不超过国内总数的十分之二,那么匈奴早晚会完全臣属于汉朝。希望单于把汉朝赠送的缯絮做成衣裤,让匈奴人穿上然后在杂草棘丛中骑马奔驰,让衣裤破裂损坏,以此显示汉朝的缯絮不如匈奴的旃衣皮袄坚固完美;把汉朝赠送的食物都丢掉,以此显示它们不如匈奴的乳制品方便味美。中行说随后教授老上单于的亲信分条记事的方法,以便他们统计人口、核算牲畜数目。

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