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在微观经济学中，消费者的间接效用函数（Indirect utility function）定义为满足预算约束时的最大效用，记为。

如果效用函数u是连续的严格递增的函数，那么间接效用函数：

如果价格是常数，则间接效用函数是支出函数的反函数，也即对任意价格向量和效用水平都有：106。

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其父张齐丘是朔方节度使，张镒以父荫授左卫兵曹参军。关内副元帅郭子仪以张镒为元帅府判官。授大理评事，累迁殿中侍御史。乾元初年贬抚州司户参军。再贬晋陵令。江西观察使张镐表为判官，再迁屯田员外郎。与杨绾、崔祐甫友善。大历初年，出京担任濠州刺史。历官江西、河中观察使。建中二年（781年），拜中书侍郎、同中书门下平章事。卢杞忌张镒忠直，以张镒为凤翔陇右节度使。张镒请以韦皋权知陇州。

建中四年，爆发泾原兵变，德宗逃至奉天（今陕西乾县）。朱泚的旧部凤翔兵马使李楚琳作乱，张镒逃出凤翔三十里，与二子同时被俘杀。有一女嫁蒋义。著有《三礼图》九卷、《五经微旨》十四卷、《孟子音义》三卷。

* 子：张元恭，建中四年（783年）与父一同被杀。追赠礼部员外郎。

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曾熙1930年，字子缉，晚号农髯，湖南衡阳人。曾熙是清末民初著名的教育家、书画家、书画鉴赏家、收藏家，近代海派书画领军人物之一，与吴昌硕、沈曾植、李瑞清齐名，四人被誉为“民初四大书法家”。

曾熙1861年出生于湖南衡阳县石市乡。2岁时，父亲曾广厚就病逝，母亲靠帮人缝补浆洗维持生计，外舅时常接济。曾熙3岁就随外舅汤杏轩蒙学识字，6岁入曾氏私塾读书。曾熙8岁能吟诗赋对，可以帮人代写春联，在邻里周边有“神童”之誉。光绪二十九年（1903年），曾熙中进士、补兵部主事兼提学使及弼德院顾问。1916年，曾熙受李瑞清之邀，定居上海，与书画大师吴昌硕、李瑞清、黄宾虹并称“海上四妖”。

曾熙的门生共有数十人：张善孖、张大千、李仲干、胡小石、朱大可、马宗霍等，其中最出名为张大千。

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