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以下是另一个的证明,所用到的只是微积分的基本技巧。它本来只是用于显示可以用有系统的方法计算π的值,而非以证明为最终目标。它比起一些基本证明更容易理解(1938)《数论介绍》第5版,美国牛津大学出版社(1980年4月17日)ISBN 978-0-19-853171-5。它的优雅是由于它和丢番图逼近的关连。路卡斯称这条公式为「其中一个估计π值的最美丽结果」这著作开首便道这是「其中一个估计π值的最美丽结果」。。Havil以这个结果作为一个有关以连分数估计的讨论之结尾,说它在该范畴是「不得不提及」的。
被积函数是一个分数,其分子和分母皆是非负函数,所以该积分是正数。由于被积函数是正数,由0至1的定积分也大于0。
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每滴眼泪,都宛如瀑布(Every Teardrop is a Waterfall)是英国另类摇滚乐队酷玩乐队的一首歌曲。这首单曲是他们第五张录音室专辑彩绘人生的首张单曲。单曲于2011年6月3日以下载形式发行,在英国则是在2天之后发行。歌曲获得了两项格莱美奖的提名。在Billboard Hot 100排行榜上,单曲在发行时排名第29位,在首周销售了85,000份,最高排名达到14位。在英国单曲排行榜上,这首歌曲的最高排名则是第6位。
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