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更新于 2026-10-24

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需要考虑如下:对于正整数 和 而言,有分数 和 形成的序列。这两个序列对应的的集合没有交集,且容易证明序列本身没有重复元素。

没有交集可以利用反证法,证明两个数 ,有 ,那么满足:,因为 属于无理数,故 也属于无理数,不能被两个有理数的比来进行表示,矛盾故它们形成的集合没有交集。

将两个序列组合成一个序列,需要证明值 对应的下标就是 :在 形成的子序列中, 的下标为 ;而在另一个子序列,即 形成的序列中, 前面一共有 个数,综上它的下标就为 。同理值 对应的下标就为 。

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征和三年(前90年),李广利受命出兵五原伐匈奴的前夕,丞相刘屈牦与李广利合谋立昌邑王刘髆为太子。史载:「征和三年,贰师将军李广利将兵出击匈奴。丞相为祖道,送至渭桥,与广利辞决。广利曰:『愿君侯早请昌邑王为太子。如立为帝,君侯尚(长)何忧乎?』」后刘屈牦被腰斩,李广利妻被下狱。此时李广利正在燕然山乘胜追击,闻讯消息,恐遭祸,欲再击匈奴取得胜利,以期汉武帝饶其不死。惟后兵败,李广利投降匈奴,士卒死亡数万人,在深入大漠1,000余里的境内,无足够的给养,难以生存。消息传来,汉武帝中止了与匈奴的战争,不复出兵。《资治通鉴》卷二十一,对于汉武帝使李广利对匈奴用兵一事,提出批判:“武帝欲侯宠姬李氏,而使广利将兵伐宛,其意以为非有功不侯,不欲负高帝之约也。夫军旅大事,国之安危、民之死生系焉。苟为不择贤愚而授之,欲徼幸咫尺之功,借以为名而私其所爱,不若无功而侯之为愈也。然则武帝有见于封国,无见于置将;谓之能守先帝之约,臣曰过矣。”

汉武帝晚年悔过,下罪已诏称:“朕即位以来,所为狂悖,使天下愁苦,不可追悔。自今事有伤害百姓,糜费天下者,悉罢之。”此时汉朝大虚,《汉书》:“天下虚耗,人复相食”。也就在汉武帝下罪已的此年,匈奴单于遣使要汉朝每年缴10,000石米酒,5,000斛粮食,10,000匹丝绸的岁币。在前87年汉武帝去世那年,又有“匈奴入朔方,杀略吏民”。虽然第二阶段耗费巨资,而且未彻底地解除中国北方的边境的安全隐患,但是在讨伐匈奴的过程中,夺得了部分匈奴领地,在河西和匈奴漠南基地河套设置郡县,切断了匈奴和羌族的关系。

第三阶段从汉武帝太初二年(前103年)的浚稽山之战开始,至汉宣帝本始三年(前71年),由汉援乌孙击匈奴之战而结束,汉遣5将军率160,000骑兵,乌孙发兵50,000骑兵,共击匈奴,取得了对匈战争的胜利。

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