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有了上述引理，就可以利用probabilistic method证明原来的交叉数不等式。设为待定的概率参数，依如下步骤构造的随机子图：1. 以概率独立随机选取的各个顶点；2. 若中一条边的两个顶点皆被选中，则在子图中构造连接这两个顶点的边。分别以、和表示的边数、顶点数和交叉数。由于是的子图，的画法已含有的画法。由引理，得
由于中每个顶点选入中的概率为，有。类似知中每条边入选的概率为（因为其两端皆要入选），所以。最后，在的画法中，每个交叉有的概率落入，因为每个交叉牵涉四个顶点。（若从同一个顶点出发画出两条边有交叉，则不妨将两条边第一次相交以后的部分对调，从而令交叉的数目变少。由于所考虑的画法仅得个交叉，无法再减少交叉，所以每个交叉必由两条无公共端点的边组成。）因此，，于是上式可写成
若图的围长大于且，2000将不等式改进成
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乔治·德·拉·图尔，法国巴洛克时代画家，生于法国洛林，以绘画烛光作为光源的晚景闻名，题材主要为宗教画和风俗画。
拉图尔，生于默尔特-摩泽尔省南部的一个小镇，父亲是面包师，母亲出身于一个小贵族家庭，全家有7个子女，他是次子。
拉图尔于1617年结婚，1620年他在吕内维尔设立自己的画室，主要描绘宗教画和风俗画，1638年被封为“御用画家”，也为洛林公爵作画，但当地的富有阶级是他主要的顾主，使他逐渐出名。从1639年到1642年，他不再出现在当地的记录中，可能这个时期他又外出旅行了，回来后，他卷入了当时洛林方济各会的宗教复兴运动，画了许多宗教题材的作品，但明显的有世俗画的痕迹。
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地球解放军（Earth Liberation Army，ELA），是一支最早出现在加拿大的激进环境主义组织，与地球解放阵线概念相同，皆是以Ecotage（ecotage）放置炸弹、纵火等方式阻止伐木场等地破坏生态的行为。最著名的行动包括1998年声称为引起韦尔滑雪场的一些建筑和四部升降椅著火而造成1200万美元损失负责。
该组织号召群众「继续战斗，使谋害（生物物理）环境的行为丧失利润动机。」地球解放军同样采用无领袖抵抗方式，并从加拿大扩散至美国、英国等地。
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