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同样地可立刻看出这条件当是的内点时成立。易证逆命题在有限维时成立：简洁做法是看到既是有限值和处处定义的凸函数，因而连续，故此包含在内且是的邻域。
当是在的内部时，可以想像这样一幅图画：函数取值1的点正好是凸集的边界，其他正数值的水平面是其位似形。如果有不在任一个水平面上的点，函数在该点取值为。
最后再补充一点。在实向量空间时，相对点对称，其度规函数避开值，这度规函数便是半范数；在复向量空间也有同样结论，只需把对称的定义，修改为与任何模为1的复数相乘都不变。
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永乐六年（1408年）五月十六日，生于宝坻县卷子村，后入学为国子生。宣德七年（1432年）中式壬子科顺天府乡试第七十二名举人。宣德八年，会试中乙榜第二十名，按惯例当授予教学官，不能足芮钊志向，于是放弃，从太学卒业。正统七年（1442年），参加壬戌科会试，得贡士第二十名。殿试登进士第三甲第五十二名。同年，观政都察院，授河南监察御史。正统九年，奉命巡按辽东，既归复河南巡按，已而复江西巡按。
景泰元年（1450年），擢江西按察副使。 景泰二年（1451年）八月十三日，其父芮琦卒景泰五年（1454年），任陜西右布政使。景泰六年（1455年），任陜西左布政使。
天顺元年（1457年），拜为嘉议大夫、都察院右副都御史，食从二品禄，授以玺书，任甘肃巡抚。天顺二年二十七日，得命加巡抚甘肃关防权。天顺三年农历十二月三十日，其母陈氏卒。天顺五年，因孛来领北元军进犯凉州，遂率军抵御，击退来犯之敌。天顺六年，同宣城伯卫颖重修西夏忠武王庙官至甘肃巡抚。同年九月三日，卒于甘肃巡抚任上，享年五十五岁。
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由于姜黄素在多种人类癌症中的多效作用，故而有研究人员研究姜黄素在HCT-15细胞中的治疗效果。结果发现姜黄素以剂量和时间依赖性方式抑制HCT-15细胞的增殖，并且诱导其凋亡。同时又发现经姜黄素的处理后，会激活胱天蛋白酶-3，并且以时间依赖性方式降低p53和Prp4B的表达。
此外，有研究发现没食子酸对HCT-15细胞的抑制作用，可以诱导活性氧类依赖性的细胞凋亡，并且明显抑制菌落的形成。
由于HCT-15细胞具有纳依赖性的载体介导甘油转运系统，而在小肠中也存在类似的转运系统，有研究就为了弄清此类甘油转运系统的功能特征，检查了Butyrate（可以促进细胞分化）对HCT-15细胞中甘油摄取的影响。实验发现在已用2 mM丁酸酯预处理24小时的HCT-15细胞中，0.4 mM甘油的摄取比未处理的甘油摄取高约5倍。处丁酸盐处理的细胞吸收甘油的增加是由于最大转运速率的增加。当在丁酸盐预处理期间，将放线菌素D（一种基因转录的抑制剂）和放线菌酮（一种蛋白质合成的抑制剂）添加到培养基中时，丁酸盐的作用几乎被完全抑制。这些实验结果暗示特定的载体蛋白与HCT-15细胞摄取甘油有关，并且该载体蛋白是可被丁酸酯诱导的细胞分化所诱导的蛋白之一。
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