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在刘秀攻略河北时投奔，被任命为中坚将军。建武元年（25年），刘秀即位，以他为大将军，封乐乡侯。讨真定的河北五校流军。建武2年（26年），改封苦陉侯。与中郎将王梁攻打五校，五校大将三十数人投降。建武3年（27年），为骠骑大将军，攻打沛郡，攻克芒。建武5年（29年），率捕虏将军马武破山东刘永的残党佼彊。

建武7年（31年），在山西晋阳、广武屯田，防备北方民族入侵。建武9年（33年），与雁门太守郭凉攻打卢芳、匈奴联军失败。建武12年（36年），卢芳属下诸将投降，卢芳北逃匈奴。建武13年（37年），增加食邑，封修侯。

建武15年（39年），因为放纵部下杀人免官，减食邑，改封参蘧乡侯。建武19年（43年），杜茂去世。子杜元嗣。

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每个容器都有一定的熵S取决于每个容器的体积，当打开容器壁间的门，让气体颗粒在容器之间混合，此时由于系统处于平衡状态，因此不会发生宏观变化。双容器系统中的气体熵可以很容易地计算，但如果方程不混合，熵就不会是2S。事实上，吉布斯定义和研究的非广义熵数量将预测更多的熵。关上门后再次将熵减少到2S，这被认为违反了热力学第二定律。

真要解吉布斯悖论就必须证明混合熵实际上是连续变化的。约翰·冯·诺伊曼提出混合熵随A和B的相似程度的变化而连续地变为零。

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