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战后鹿谷庄改制为鹿谷乡，隶属于台中县，大字亦改制为村。1950年10月，中、彰、投分治，鹿谷乡改隶属南投县。
本地区发展较早的聚落有粗坑头、粗坑底、内苦瓜藔、水仔底等，在日治期初期的官方地图上已有记载。此外，本地区尚有鞍顶、秀川、靖山、富林、初乡、小溪头、崎糠、四九日黑等聚落。
国道3号又称「福尔摩沙高速公路」，是贯穿台湾西部的两条纵向高速公路之一，大致以北北西—南南东走向绕大弯转东南东—西北西走向经过初乡地区西北部边界外不远处。北上最近的交流道为竹山交流道，南下最近的南云交流道，均以连络线与省道台3线相接。由此等可快速前往台湾南北各地。
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于1903年，罗伊兰终于拥有自己的学校。于1916年，一所私人学校于罗伊兰成立。于1963年，在哈维郡政府的要求下，罗伊兰终于刊登宪报，并获得城镇的地位。
于1940年代至1970年代之间，居住于罗伊兰的澳洲土著儿童均被带离家庭，被送进罗伊兰原住民之家，并受到一家的照顾。总共有约500位土著儿童曾居住于这里，其中一些更在这里居住超过16年。于2004年，土著土地公司以$192万澳元购买了罗伊兰原住民之家。
罗伊兰在现代是一个人口不多的小镇。罗伊兰坐落于达令山脉的山脚附近，并且位于连接班伯里、平贾拉和珀斯的西南公路以及连接柯利、达根和亚瑟河的煤田路的交界点。于现代，罗伊兰的经济仍然以林业和煤业作基础。
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耦合，或称关联结构（Copula），为处理统计中随机变量相关性问题的一种方法，由一组随机变量的边际分布来确定它们的联合分布。通过关联结构来确定一个联合分布的方法是基于如下思想，一个简单转换可以通过分别将每个边缘分布都转换为平均分布的转换组成。这样，一个关联结构（dependence structure）就可以表达为一个基于上述所得平均分布之上的联合分布，而关联结构（copula）即是边缘均匀随机变量之上的一个联合分布。在实际应用中，上述的转换可能被设置为每个边缘变量的初始化步骤，或者上述转换的参数可能根据具体关联结构的对应参数设置。
按照所表达的关联关系的不同，关联结构被分为很多不同类别。典型情况下，一个种类的关联结构有多个参数用来表达不同的关联强度和关联类型。下面将大概描述一些有代表性的关联结构。关联结构的一个典型应用是，通过选择某一种类的关联结构来定义某一适合特定样本数据分布的联合分布，当然关联结构也可以来自于任何相应的给定联合分布。
考察两个随机变量, ，分别具有连续累积分布函数和。通过分别在两个随机变量上应用概率积分转换，得到 和。因此和都是具有连续均匀分布的变量，相关性通常取决于和是否是相关（自然，如果和是不相关的，那么和也是不相关的）。因为这个转换是可逆的，可以定义和之间的相关性等于和之间的相关性。因为和是均匀分布的随机变量，所以问题被简化为定义一个在两个均匀分布之上的二项分布，这就是关联结构。所以，这一基本思想就是，通过把边缘变量转化为均匀分布变量而不再需要考察很多不同的边缘分布以简化问题，然后再把相关性定义为一个在均匀分布之上的联合分布。
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