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该命题的逆命题同样成立：若在边上的位置满足关系式，则以这三点为垂足做出的三条垂线会交于一点。因此，该关系式为垂线是否交于一点提供了一个充分必要条件。

若三角形的角为直角，则可以将三条垂线的交点置于上。此时由于、且，可得、、、、与，代入卡诺定理的关系式后，即可推得毕氏定理。

若三条垂线皆为中垂线，则、且，无论三边长度为何，上述关系式必会成立，故可推得三角形的三条中垂线必交于一点。

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是佛蒙特州米德尔堡的本地人，他于1857年编辑出版了一本摩根马配种种马的书。Joseph Battell上校也是米德尔堡本地人，他于1894年出版了摩根马名录（Morgan Horse Register）的第一卷，标志着Breed registry正式开始。1907年，美国农业部在佛蒙特州韦布里奇（Weybridge）巴特尔捐赠的土地上建立了美国摩根马场，目的是永续和改良摩根马品种。繁殖计划旨在生产出健康、强壮、举止良好的马，无论用于鞍具还是挽具都能表现出色。1951年，摩根马场被从农业部转交给佛蒙特农学院（Vermont Agricultural College，现为佛蒙特大学）。

在南北战争中，作战双方都曾用摩根马作为骑兵的坐骑。源于摩根马的包括谢里登的温彻斯特（Winchester），又称为黎恩济，它是黑鹰的后裔。石墙杰克逊的“小栗毛”（Little Sorrel）曾被交替地描述为摩根马或American Saddlebred，一个受摩根马影响很大的品种。尽管摩根马发烧友表示，小大角战役之后卡斯特团唯一幸存的马科曼奇，要么是摩根马，要么是野马和摩根马的混血，但美国陆军和其它早期来源的记录都不支持这一说法。大多数说法都指出，科曼奇要么是“野马血统”，要么是“美洲”与“西班牙”混血。University of Kansas Natural History Museum里陈列着科曼奇的毛绒玩具，但没有对其品种做出任何说明。所有来源都认为，科曼奇起源于俄克拉荷马州或德克萨斯州地区，这使得它拥有野马血统的可能性更大。

今天，摩根马的品种中有四个主要血统品系，分别为布鲁克（Brunk）、政府（Government）、利皮特（Lippitt）和西部劳作（Western Working）品系。也有一些较小的品系。布鲁克品系因其健壮和运动能力而著称，可追溯到约瑟夫·布鲁克（Joseph Brunk）的伊利诺伊育种计划。利皮特品系可以追溯到罗伯特·利皮特·奈特（Robert Lippitt Knight）的育种项目。罗伯特·利皮特·奈特是实业家罗伯特·奈特的孙子，也是独立战争军官、Lippitt Mill创始人Christopher Lippitt的曾曾外孙。罗伯特·利皮特·奈特专注于伊桑·艾伦二世（Ethan Allen II）后代马匹的Preservation breeding，该品系被认为是这四个品系中“最纯正的”。多数品系可以追溯到Figure，并且在20世纪或21世纪没有与其它品种杂交。政府品系是最大的品系，可以追溯到1905年至1951年间由美国摩根马场饲养的摩根马。这个品系的基础祖先是盖茨将军（General Gates）。当USDA不再参与时，佛蒙特大学不但购买了马场，而且还购买了众多种畜，并继续该项目至今。西部劳作品系（Working Western Family，简称2WF）没有共同的育种者或祖先，但它们被饲养为牧马和劳作马，其中一些是从政府马场运送到西部的种马繁殖而来的。

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