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考虑的一个仅得个交叉的画法。可以在每个交叉删走其中一条边，从而消除所有交叉。于是，剩下的边组成一幅平面图（因为不再有交叉），其边数至少为，顶点数则仍旧为。根据平面图的欧拉公式，，所以上述估计成立。（更准确来说，对于，有。）
有了上述引理，就可以利用probabilistic method证明原来的交叉数不等式。设为待定的概率参数，依如下步骤构造的随机子图：1. 以概率独立随机选取的各个顶点；2. 若中一条边的两个顶点皆被选中，则在子图中构造连接这两个顶点的边。分别以、和表示的边数、顶点数和交叉数。由于是的子图，的画法已含有的画法。由引理，得
由于中每个顶点选入中的概率为，有。类似知中每条边入选的概率为（因为其两端皆要入选），所以。最后，在的画法中，每个交叉有的概率落入，因为每个交叉牵涉四个顶点。（若从同一个顶点出发画出两条边有交叉，则不妨将两条边第一次相交以后的部分对调，从而令交叉的数目变少。由于所考虑的画法仅得个交叉，无法再减少交叉，所以每个交叉必由两条无公共端点的边组成。）因此，，于是上式可写成
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局部均衡的分析方法属于一种经济分析方法。即假设其他条件不变，一定时间段内某个变量对有其他相关经济变量的影响的分析方法。在局部均衡理论中体现为假设单个市场的变动对其他市场很少有影响或没有影响，在此基础上分析供求曲线的关系与变化。
局部均衡理论是在假定其他市场条件不变的情况下，假定该市场的活动对其他市场很少有影响或者几乎没有影响的情况下，单个（或部分）市场供给与价格之间的均衡状态。并不考虑它们之间的相互联系和影响。
一般均衡理论（General Equilibrium Theory）同时决定所有市场的价格和数量，并将反馈效应考虑在内。他承认供求与市场上各种商品价格和供求关系存在相互联系和相互影响条件下，所有市场上各种商品的价格与供求的关系或均衡状态。一般均衡是经济学中局部均衡概念的扩展。在一个一般均衡的市场中，每个单独的市场都是局部均衡的。
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男性化激素疗法（Masculinizing hormone therapy），也被称为男性化荷尔蒙疗法，或跨性别男性激素疗法，是荷尔蒙疗法和性别肯定激素疗法的一种形式，用于将变性人的第二性征从女性或雌雄同体改变为男性。 这是一种常见的跨性别荷尔蒙疗法(另一种是女性化荷尔蒙疗法)，主要用于跨性别男性和其他非二元性别人士。一些双性人也接受这种形式的治疗，要么从童年开始确认分配的性别，要么在证明分配的性别不正确的情况下晚些时候开始。
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