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梁士济（L），字遂良，广东广州府南海县人，明朝、南明政治人物。
梁士济是万历三十四年（1606年）的举人，多次上书未获回音，从事教书二十多年，门生有数百人；到天启元年（1625年）他登进士，授奉新知县，调往清江。湖广地方用兵，需要征给粮食，他只能辛劳应办。崇祯五年（1632年）峒寇作乱，守道计划让城外居民撤离，梁士济坚持不可以，说：「盗寇来到，放火焚烧就没有怨恨了。」自己带领精锐士兵扼守河上，居民才得以安定。他又设置学田资助士人，扩大弟子生员到科举规定，待士亦有礼；对人不涉及私事，议罪谨慎不苛求。他在诸生中认识后来文章节义闻名的杨廷麟，朝廷因为他循良召任，当地民众都请求他留下，为他停车三日。之后他改任兵科给事中，转为江西道御史，再迁官浙江道巡按云南，因父亲逝世辞官。刘香作乱，熊文灿来访商讨对策，梁士济坚持不要招抚，应一举歼灭。不久他再获起用巡按四川，当地充斥流寇，他详细检验功罪，革除贪污，取消火耗，于是流寇逃遁，人民安乐；同时又整修昭烈君臣陵墓及杜甫草堂。完成使命后回归朝廷，他的行李却依然简陋。不久梁士济改为巡按北直，任内铲除宦官，弹劾宗室，矫正外戚，不回避权要；他奉敕监军山海关，查核将领，筹措兵饷。再转掌河南道，为皇帝侍读，他四次上疏辞官，因此归乡。
南京失守，梁士济入西樵山躲避。隆武帝继位，张家玉再三推荐他，下旨尽快出任抚按，但未赴官；永历帝即位，擢任他为太仆卿；永历二年（1648年）再晋为兵部右侍郎，去世时虚岁七十七。
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王家宾，字国重，号光宇，直隶保定府定兴县人，明朝政治人物。
万历二十五年（1597年）丁酉科顺天乡试举人，三十二年（1604年）甲辰科进士，初授户部山西司主事，榷税临清，值畿辅大旱，家宾恻然，傍徨达旦，愿附汲黯发仓之义，竟以额课三万金解正定佐赈，一面疏闻大义，谓以朝廷金钱活朝廷赤子，且正保隶毂辇，赈恤宜先。或谓当预闻，曰：若是，则索饥民于枯鱼肆矣。使及沾升斗救万人之命，罢官适所愿也。遇神庙宽仁，仅予薄罚，赖以全活者无算。擢守青州，陟兖东道，以邹滕白莲教寇变，谪守高州，寻升山西河东道副使，歴本省右参政、按察使，累官陜西布政使，致仕归。家宾和厚，不为崖异，于非义则崭然不可夺。任河东时，某弁馈药酒壶以金，大怒曰：鼠子乃啖我。挥其酒，斥其人。
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先利用欧拉公式证明以下初步估计：若图G恰有n个顶点和e条边，则
考虑的一个仅得个交叉的画法。可以在每个交叉删走其中一条边，从而消除所有交叉。于是，剩下的边组成一幅平面图（因为不再有交叉），其边数至少为，顶点数则仍旧为。根据平面图的欧拉公式，，所以上述估计成立。（更准确来说，对于，有。）
有了上述引理，就可以利用probabilistic method证明原来的交叉数不等式。设为待定的概率参数，依如下步骤构造的随机子图：1. 以概率独立随机选取的各个顶点；2. 若中一条边的两个顶点皆被选中，则在子图中构造连接这两个顶点的边。分别以、和表示的边数、顶点数和交叉数。由于是的子图，的画法已含有的画法。由引理，得
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