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更新于 2026-10-24

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为了使分析易于处理,通常假设集合有固定基数并且观察到的数据是从数据的所有子集的集合中随机均匀采样 。为了进一步简化分析,假设由伯努利采样构造,即每个数据都以概率被观察到。如果设为,其中是的期望基数,是矩阵的维数(不失一般性,使), 随有高概率上界,因此伯努利采样是均匀采样的一个很好的近似。 另一种简化是假设数据是独立采样的并且带有替换。

假设我们正在尝试恢复的矩阵 ( ) 为秩-r。 我们应该知道信息理论下界即必须观测到多少数据才能实现对矩阵的唯一重建。秩小于等于r的维矩阵的集合是在空间上一个代数变量,其空间维数为。利用这个结论,可以证明当时上的矩阵还原问题要有唯一解必须至少要有个数据输入。

第二,矩阵的每一行每一列必须至少有一个观察值。矩阵的奇异值分解为。如果第行未被观察,容易看到矩阵的第个右奇异向量可以改变为任意值并且仍然从可以观测数据中得到一个匹配的矩阵。同理,如果第列未被观察,矩阵的第个左奇异向量可以是任意的。

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硬式飞船(Rigid Airship)是指浮空器外形主要是以内部框架支撑住,而非以轻质气体维持外型的飞艇,次要的支撑则和软式飞船与半硬式飞船相同来自内装气体的压力。最著名的硬式飞船种类是齐柏林飞船,齐柏林伯爵在1900年打造出第一艘硬式飞船,并让德国在该领域居于领先地位。

硬式飞船盛行于1900年代至1930年代晚期,在兴登堡号起火后式微。1900年,费迪南德·冯·齐柏林伯爵成功地完成了他的第一艘飞艇的首航,LZ1号全长128.02公尺、直径11.73公尺,飞艇轻质气体容积为11,298立方公尺,飞艇下装有2具输出14匹马力的戴姆勒引擎,LZ1首航20分钟后即因事故毁损,虽然经过修改,但随后的LZ2与LZ3号并未获得的产业界青睐,但飞艇的性能获得德意志陆军的关注,随后他们便提出希望能在天空中运转24小时的飞艇,由于这超越了当时制造的齐柏林飞艇性能,齐柏林伯爵为此打造了更大尺寸的LZ4号飞艇。LZ4号全长136公尺、直径12.95公尺,飞艇搭载2具总输出210匹马力的戴姆勒引擎。直到1913年,德意志帝国陆军才购入LZ1号艇进行使用,但是在第一次世界大战之前,德国在该领域处于世界领先地位,这主要归功于齐柏林和他的齐柏林飞船制造公司的工作。

在第一次世界大战期间,齐柏林飞艇公司制造了95艘齐柏林飞艇。硬质飞艇被赋予了各种军事任务,包括德国对英国的战略轰炸行动。

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