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明神宗万历四十八年（1620年），芝虎年方十四，与兄芝龙，同为其父逐出家门，流浪至澳门，再至日本，与芝龙感情最笃；芝虎勇猛果敢，武艺过人，辅佐芝龙，在海上称雄，屡建战功。当时，江湖有「龙智虎勇」之誉。
明思宗崇祯元年（1628年），芝龙投降明朝，任厦门水师游击。
明思宗崇祯八年（1635年），芝龙以明水师提督之职，攻打其海盗刘香，芝虎随征，战刘香于广东海上，「口含钢刀，手持藤盾牌，船尾绳荡跃」跳至刘香船上格斗，「格盗殆尽」几乎杀光刘香手下海盗。却大意中伏，遭到渔网网住掷入海里，溺毙。芝龙哀痛万般，为之昏厥。刘香则为芝龙所败，炸船自杀。事后，芝龙与潜水夫同潜，欲寻芝虎尸，不获。
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从定义立刻得到以下结果，可以进一步说明度规函数：
同样地可立刻看出这条件当是的内点时成立。易证逆命题在有限维时成立：简洁做法是看到既是有限值和处处定义的凸函数，因而连续，故此包含在内且是的邻域。
当是在的内部时，可以想像这样一幅图画：函数取值1的点正好是凸集的边界，其他正数值的水平面是其位似形。如果有不在任一个水平面上的点，函数在该点取值为。
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八关都尉，东汉末年为因应黄巾之乱等民变战事，临时强化建置的关防军官。中平元年（公元184年）设置于京城洛阳四周。共有函谷，广城、伊阙、大谷、辗辕、旋门、小平津、孟津等八关都尉，分掌各关防部队，镇遏地方反叛，防衞洛阳。
所谓八关，即函谷关、太谷关、广成关、伊阙关、轘辕关、旋门关、孟津、小平津，八座关隘是洛阳京畿联通进出联外交通枢纽，拱卫京畿河南的守备要塞。汉灵帝刘宏为防黄巾之乱，设立八关都尉以镇守京师。
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