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阶数最小的汉弥尔顿群是四元群，四元群具有八个元素，一般记做。戴德金和贝尔（Reinhold Baer）证明说所有的汉弥尔顿群都是的直积，其中是二阶初等阿贝尔群，而则是周期性交换群，且所有元素的阶数皆是奇数。
戴德金群以理查德·戴德金，戴德金曾在1897年的一篇文章中研究这类的群，并为有限群提供了上述的结构理论，他并以四元数的发现者威廉·哈密顿爵士之名来命名非交换的戴德金群。
在1898年，乔治·米勒（George Abram Miller）描述了汉弥尔顿群及其子群的阶的结构，像例如他发现说若一个汉弥尔顿群的阶数为，那这个群会有一个阶数为的四元数子群；在2005年，霍瓦特氏（Horvat）等人利用这样的结构来计算阶数为的汉弥尔顿群的数量，其中是一个奇数。在的时候，没有汉弥尔顿群的阶数为，对于其他的，阶数为的汉弥尔顿群的个数，和阶数为的交换群一样多。
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区间车方面，初期由EMU700与EMU800替驶山线，待彰化和嘉义机务段之EMU500以及新竹和嘉义机务段之EMU600无阶化后才恢复山线运用，目前已全面完成改造。对号车方面，初期折叠门莒光号全面退出山线改行海线，部份西部干线之折叠门莒光号班次于2018年10月12日大改点后截短至新左营站到发，仅门楣较高的10000型（FP10000、FPK10000、FPK11000）驶入高雄地下化区间。TEMU1000型暂时退出山线并改以TEMU2000行驶；DR2800因车门门楣过低以及月台间缝隙过大而在2018年10月12日起全面退出纵贯线南段、屏东线及南回线。推拉式自强号、DR3100和自动门莒光号车厢则持续进行无阶化改造。至于EMU300、EMU1200、DR2900 - 3000等自强号与10000型折叠门莒光号因已无其他车型可替代以及旅客需求而未退出营运，但为避免旅客踩空车厢与月台间「下凹」的阶梯，所有对号班次停靠台中高架化路段、高雄地下化路段、部分屏东线车站时，列车长及车站都会以加强广播方式提醒乘客注意月台间隙。目前折叠门莒光号、EMU300、EMU1200已全面退出营运，除TEMU1000正陆续进行无阶化改造，各车型均已改造完毕，原本由DR2800 - 3000营运的班次亦陆续以TEMU2000、EMU3000替驶。
车站月台提高工程起初先以部份山线、海线、纵贯线南段仅停靠区间车之车站，以及屏东线（潮洲至枋寮段）、南回线优先进行。2020年上半年度配合台北机务段EMU500型及新竹机务段EMU600型改造完成，接续提高北回线、宜兰线、纵贯线北段、六家线（包含内湾线之新竹至竹中间各站）、沙仑线等停靠区间车之月台。2020下半年间配合花莲机务段EMU500型改造完成、时刻调整及EMU900型投入运用，减停旧式折叠门莒光号班次，环岛铁路网尚有停靠莒光号之二、三等站及台东线仅停靠区间车之车站月台。未来将以2024年前完成特等站及一等站的月台提高无阶化为目标。
纵贯线北段：基隆 - 三坑、百福 - 五堵、汐科、浮洲、南树林 - 山佳、内坜、埔心、富冈 - 北湖、新丰 - 北新竹(第1月台)、三姓桥 - 崎顶
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