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对于李代数和交换代数，我们同样可以进行科祖分解。一个李代数的科祖分解有一个C无穷代数（C是交换commutativity的英文缩写）结构，而一个交换代数的科祖分解有一个李无穷代数结构。所谓李无穷代数和C无穷代数，正如A无穷代数一样，他们的同调分别是李代数和交换代数。李代数和交换代数分别是一种特殊的李无穷代数和C无穷代数。由一个李代数经过科祖分解后到C无穷代数然后再经科祖分解到李无穷代数，所得的这两个李无穷代数实际上是同伦等价的，对于交换代数也是如此。因此我们可以说，李代数和交换代数是相互科祖对偶的。这个结论实际上是奎伦在有理同伦论中发现的，他还证明，在有理系数下，这两个代数组成的范畴都和拓扑中的有理同伦型（rational homotopy type）组成的范畴是等价的（有一些单连通性条件）。后来 Sullivan通过考察流形的微分形式，得到了类似的结果，但是更几何，更直观。
考虑一个范畴。对于其中的四个对象及其之间态射我们有这显示了这些态射之间有一种结合性。一个A无穷范畴就是打破这些结合性，使之成为在同伦意义下是结合的，同时有高阶同伦算子，成为同伦的同伦，同伦的同伦的同伦，等等。因此一个A无穷范畴并不是一个范畴，而是同伦意义下的范畴：它的“同调”形成一个范畴。
深谷在研究辛拓扑的时候发现了这个A无穷范畴的结构。给定一个辛流形，考虑其中的拉格朗日子流形（Lagrangian submanifold）。对其中任意两个拉格朗日子流形，考虑所谓的拉格朗日Floer链复形，形成所谓的态射。深谷发现这些态射之间可以定义乘法，但是这个乘法本身不结合但在同伦意义下结合，他并构造了高阶同伦算子，使之成为一个A无穷范畴，现在称为深谷范畴。
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本鱼分布于印度太平洋区，包括东非、红海、斯里兰卡、马尔地夫、印度、泰国、日本、台湾、菲律宾、印尼、新几内亚、中国、越南、澳洲、新喀里多尼亚、关岛、密克罗尼西亚、马里亚纳群岛、帛琉、夏威夷群岛、东加、法属玻里尼西亚等海域。
本鱼体呈椭圆形而侧扁。口小，端位，上下颌各具一列扁平齿，齿固定不可动，齿缘具缺刻。吻部以上为黄色，并具有6至8条浅蓝色镶黑边纵带；吻部以下为浅灰白色，胸鳍透明，尾柄两侧有硬棘会伤人，须注意，尾鳍呈新月形，为深蓝色。背鳍硬棘11枚、臀鳍硬棘3枚。体长可达38公分。
本鱼栖息在清澈的向海礁坡上，为一夫多妻制的社会形态，遭受威胁时，会以尾部棘刺攻击敌人，属于藻食性。
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1999 年 5 月 12 日，教宗若望保禄二世任命他为教宗司仪。
1990年前往在罗马Pontifical Institute of Sacred Liturgy深造。于1995年获得宗座圣多玛斯大学神学博士学位。
于2013年9月17日由若瑟·贝德罗枢机晋牧，领贝内文托领衔总主教。
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