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与此同时，乌尊哈桑指派雅迪格尔向呼罗珊进发。在Chenaran战役（1469年9月15日）中忽辛击败了雅迪格尔，但后者立刻收到了乌尊哈桑的增援部队。乌尊哈桑要求忽辛交出逃到赫拉特的黑羊王朝成员，忽辛拒绝了他。因此，雅迪格尔继续大举进攻呼罗珊，由于大规模的逃亡，忽辛失去了对自己部队的控制，他在1470年7月7日最终逃离赫拉特。六周之后，忽辛重新占领了这座城市，他组建了一支新兵并击败了试图前往呼罗珊的卜撒因的儿子们。忽辛成功抓到了雅迪格尔，并迅速处决了他。
忽辛的统治变得无比安稳。白羊王朝没有再对他进行进一步攻击，而且河中的帖木儿后王们的实力也因内耗而不断被削弱。他可能已经意识到乌兹别克人对自己的威胁，并明智地不与他们发生任何边界冲突。
忽辛被视为是“一个好国王，一个和平与正义的爱好者”，他建立了许多建筑，包括一所著名的学校；然而，在他几十年的统治中却被迫处理了几次叛乱和入侵。
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先利用欧拉公式证明以下初步估计：若图G恰有n个顶点和e条边，则
考虑的一个仅得个交叉的画法。可以在每个交叉删走其中一条边，从而消除所有交叉。于是，剩下的边组成一幅平面图（因为不再有交叉），其边数至少为，顶点数则仍旧为。根据平面图的欧拉公式，，所以上述估计成立。（更准确来说，对于，有。）
有了上述引理，就可以利用probabilistic method证明原来的交叉数不等式。设为待定的概率参数，依如下步骤构造的随机子图：1. 以概率独立随机选取的各个顶点；2. 若中一条边的两个顶点皆被选中，则在子图中构造连接这两个顶点的边。分别以、和表示的边数、顶点数和交叉数。由于是的子图，的画法已含有的画法。由引理，得
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台湾清治末期至日治初期，劳水坑地区为一街庄，称为「劳水坑庄」，隶属于鲤鱼头堡。该庄北与山坪顶庄、大鞍庄、小半天庄、内树皮庄为邻，东边为蕃地，南边东段亦为蕃地，南边中段为草藔庄，西南边为桶头庄，西边为鲤鱼尾庄。
1901年（日治明治三十四年）11月，全台废县厅改设二十厅，该庄隶属于斗六厅。1903年（明治三十六年）6月，该庄编入「劳水坑区」，隶属于南投厅。1909年（明治四十二年）10月，合并二十厅为十二厅，劳水坑区改隶属于南投厅。1920年（大正九年），全台地方制度大改正，废十二厅改设五州二厅，该庄改制为「山坪顶」大字，隶属于台中州竹山郡竹山庄。1931年，竹山庄升格为竹山街。
战后竹山街改制为竹山镇，隶属于台中县，大字亦改制为里。1950年10月，中、彰、投分治，竹山镇改隶属南投县。
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