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* 考虑有限维实向量空间范畴 ，以及所有实矩阵范畴 （后一二范畴在可加范畴中有解释）。则 与 是等价的：函子 将 中每个对象 映为向量空间 ，而 中矩阵到对应线性映射是完全、忠实且本质满的。
* 代数几何的中心论题是仿射概形与交换环的对偶性。函子 将每个交换环映射它的谱，概形定义为此环的主理想。其伴随 将每个仿射概形映为它的环的整体截面。
* 在泛函分析中，有单位的交换C*-代数反变等价于紧豪斯多夫空间范畴。在这个对偶下，每个紧豪斯多夫空间 对应于 上的连续复值函数代数，而每个交换 C*-代数对应于它的极大理想空间。这就是盖尔范德表示。
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陈家祖籍福建省泉州府同安县。18世纪末，陈中和的曾祖父辈渡海来台，定居打狗港苓雅寮，以渔业与农业维生。传至陈中和（1853年～1930年）时，初期于同乡陈福谦在旗后开设的「顺和行」学习贸易，后来陈中和凭借其经办业务的长才，出任「七十二行郊」总管家（总经理）。陈福谦辞世后，他更于1887年（光绪13年）自行创立「和兴行」。他对「大陆贸易」相当有远见，早年便已于中国沿岸福州、厦门、广州、香港等地，进行市场调查及尝试岛外输出作业，以扩展糖业市场。1873年（同治12年），年仅20岁的陈中和首度由旗后押运450吨红糖赴日本横滨；回航时，再载运布匹、石油及日用品等返台贩卖，从此确立贸易方向。「和兴行」成立后，在打狗（今高雄）、香港、横滨三地经商，络绎不绝，陈家因而累积不少财富。
除了国际贸易之外，1899年日人开放官有地作为盐田，陈家于盐业经营亦相当成功；后来因日人发布「制糖奖励规程」，发展新式制糖工业，陈家首先于大寮投资设立「新兴制糖株式会社」，1920年时获利最高，达124.56％；同年，陈家合资成立「南兴公司」创办新式碾米厂，处处可见其对新兴产业的前瞻性。1923年，成立「陈中和物产株式会社」，营业项目包括农产物种植买卖、土地与建物赁贷、碾米相关行业、海外贸易与其它投资事业等，涵盖范围之广，俨然称霸南台湾。
1964年，陈启清并购台湾汽水厂，与可口可乐公司合作，在台湾生产可口可乐。1968年开始向台湾一般民众发售可口可乐。1986年，其七子陈田钰取得百事可乐的台湾区代理权，引进百事可乐。
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