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不变子空间问题主要是关于是大于1维的复数域上的可分希尔伯特空间，而是有界算子的情况的。它求证是否总是有一个非平凡闭子空间。该问题直至2006年还未获解答。若只是巴拿赫空间，1984年Charles Read证明存在反例。
更一般的，不变子空间可以定义在算子集合上（算子代数，群表示），它们是在该集合中的每个算子下不变的子空间。
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毕业于俄罗斯莫斯科国立国际关系学院，邓明魁会讲中文、英文和俄文。其妻黎铃兰也是越南外交官，任越南驻瑞士兼列支敦斯登大使。
1991年，邓明魁进入越南外交部任职，任国际关系专家，然后担任外交部中国司（现为东北亚司）关系部主任，2002年出任越南驻广州第二任总领事，2006年10月至2006年12月，他担任外交部亚洲一司（现为东北亚司）副司长。
2006年12月至2010年5月，历任越南驻华大使馆参赞；2010年至2014年1月，他担任外交部东北亚司副司长。2014年1月至2014年9月，他被任命为外交部部长助理兼东北亚司司长。2014年9月至2015年10月，他担任外交部副部长。
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明治政府时担任开拓使，明治5年（1872年）起在美国留学两年。归国后进入海军，担任中尉。最初的1年时间里在武库司担任勤务工作，参与水雷制造。他创办鱼雷、机雷制造厂，研究开发各类水雷。明治12年（1879年）9月15日任水雷练习所长，明治16年（1883年）2月6日任水雷局长，被称为水雷之父。
明治19年（1886年）2月24日，任参谋本部第2局长，同年作为西乡从道的随员，赴欧美各国考察，归国后明治20年（1887年）10月8日任舰政局次长、歴任军令・军政等要职。但这时后辈同乡的山本权兵卫开始崭露头角，山本等人的革新派和柴山等保守派的海军派系开始发生争执，柴山等保守派失败失去军权。
但柴山作为军事专家以及成绩的积累，人们对他的能力评价很高。明治27年（1894年）7月13日，日清战争开战之际，西海舰队司令长官兼佐世保镇守府司令长官相浦纪道少将推荐柴山以大佐军衔继任佐世保镇守府司令长官。柴山是日本海军史上唯一的大佐军衔镇守府长官。一周后晋升少将。
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