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代数图论的第二个分支用群论来研究图，尤其是自同构群以及几何群论。重点是根据对称性对图进行分类，以及不同类别之间的包含关系。某些特殊类别的图足够少，可以把它们列举出来。根据Frucht定理，所以的群都可以表示成连通图的自同构群。另外，给定一个群，可以作出相应的凯莱图，凯莱图有一些性质与群的结构相关。
代数图论的第二个分支与第一个分支有联系，因为图的对称性在图的谱中也有反映。尤其是，对于高度对称的图，例如佩特森图，不同的特征值的数目很少（佩特森图有3个不同的特征值，在直径相等的图中是最少的）。凯莱图的谱与群的结构直接相关，尤其是与不可约特征标相关。
最后，代数图论的第三个分支研究图不变量的代数性质，尤其是色多项式、Tutte多项式与扭结不变量。例如，图的色多项式计算了顶点着色的个数。佩特森图的色多项式为。这意味着佩特森图不能用1种或2种颜色着色，但可以用3种颜色着色，且着色方式有120种。代数图论的这一领域的许多工作都是为了证明四色定理而启发。可是仍然有许多未解决的问题，例如如何判定两个图的色多项式相同，以及如何判定一个多项式是不是某个图的色多项式。
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壶关县是中国山西省长治市所辖的一个县。总面积为1013平方公里，2010年常住人口291609人。
壶关县位于山西省东南部，地处太行山东南端，东与河南省林州、辉县两市接壤，西与长治市郊区、长治县为邻，北与平顺县相连，南与晋城市陵川县毗邻，是长治市的“东大门”。因县城北有百谷山（今名老顶山），南有双龙山，两山夹峙，中间空断，山形似壶，且以壶口为关，因而得名壶关。全县总面积1013平方公里，东西长46公里，南北宽42公里，年平均气温8.9℃，年均降雨量574.5mm，无霜期153天，属暖温带大陆性气候区。境内地势东高西低，地质类型以奥陶纪石灰岩为主，是典型的干石山区，平均海拔为1252米，山地面积占到全县总面积的74.5%，是国家扶贫开发重点县。
汉王刘邦元年（前206年）始置壶关县，属上党郡，因境内有关口称壶关而得名。隋大业三年（607年），并入上党县。唐武德四年（621年）复置壶关县。
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边永（Bian边），字仕远，号朴庵，直隶河间府任丘县（今河北省任丘市）人，军籍。明朝政治人物。正统乙丑进士，官至户部郎中。
正统十年（1445年）登乙丑科进士。官行人司行人。景泰元年（1450年），出使安南。景泰三年，又使占城。明制，使琉球者每报命，正使给事转四品京堂，副使行人，转六品京堂。然而边永虽亦远行泛海，却终无褒赏。不久，哈密入贡，边永又奉命馆伴来使，送至甘肃方还。
天顺年间，奉命楚府行祀礼，又至代府掌行丧礼，又使河南、山东、陕西、云南。后以九年再秩满，方得升户部员外郎，随即乞致仕，为行人及户郎凡三十年，悠游林下近二十年。
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