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* 自同构（automorphism）：若一个自同态也是同构的，那么称之为自同构。
* 若f : X → Y和g : Y → X满足可是证明f是满的而g是单的，而且 : X → X是幂等的。这种情况下，f和g称为分割（split）. f称为g的收缩（retraction）而g称为f的截面。任何既是满同态又是分割单同态的态射，或者既是单同态又是分割满同态的态射必须是同构。
* 在泛代数中研究的具体范畴（例如群，环，模，等等），态射称为同态。术语同构，满同态，单同态，自同态，和自同构也都适用于这个特殊范围。
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自英格兰足球联赛系统最高等级的赛事——英格兰足球超级联赛于1992年成立a，有超过200名球员曾于比赛中完成帽子戏法。首位完成的球员为埃里克·坎通纳。效力列斯联时，他在对阵托特纳姆热刺的比赛中完成帽子戏法，最终球队以5比0大胜。曾有21位球员于比赛中攻入3球以上：其中，安迪·科尔、阿兰·希勒、杰梅恩·迪福、迪米塔尔·贝尔巴托夫和塞尔希奥·阿奎罗曾于比赛中攻入5球。萨迪奥·马内为最快于英超完成帽子戏法的球员：效力修咸顿时，他在对阵阿士东维拉的比赛中以2分钟56秒打进3球，打破了利物浦的罗比·福勒所创下的纪录；而于1999年，曼联球员奥勒·居纳尔·索尔斯克亚于对阵诺丁汉森林的比赛中后备入替后，在12分钟内完成「大四喜」，成为最快于英超攻入4球的球员。
2003年，在阿仙奴主场对阵修咸顿的比赛中，杰梅恩·彭南特和罗贝尔·皮雷斯皆为主队完成帽子戏法。2007年，布莱克本流浪者的罗克·圣克鲁斯和韦根的Marcus Bent于比赛中，各为效力的球员打进3球。只有6名球员——莱斯·费迪南德、伊恩·胡礼、迪迪埃·德罗巴、韦恩·鲁尼、哈里·凯恩和埃尔林·哈兰德能于连续2场比赛中完成帽子戏法。朗尼于2011年8月28日和马菲·拿铁斯于1995年8月19日完成的帽子戏法中，全部入球皆为定点球，包括十二码和罚球。只有爱华顿的邓肯·费格逊和西布朗的沙洛文·朗顿曾攻入全部为头球的帽子戏法。
塞尔希奥·阿奎罗曾12次于比赛中攻入3球或以上，为英超完成帽子戏法次数最多的球员，阿兰·希勒曾完成11次，罗比·福勒曾完成9次，而蒂埃里·亨利、迈克尔·欧文和哈里·凯恩则各完成8次；有5位球员曾为3间不同的球会完成帽子戏法，分别为艾耶格贝尼·雅库布（布力般流浪、爱华顿和朴茨茅斯）、尼古拉·阿内尔卡（阿仙奴、车路士和曼城）、凯文·坎贝尔（阿仙奴、爱华顿和诺定咸森林）、莱斯·费迪南德（纽卡斯尔联、女王公园巡游者和托特纳姆热刺）和泰迪·舒宁咸（曼联、朴茨茅斯和托特纳姆热刺）。
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