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如果一个范畴等价于另一个范畴的反范畴，则我们说“范畴的对偶性”，以及这两个范畴对偶等价。

范畴的等价由所涉范畴的一个函子组成，这个函子要求有一个“逆”函子。但与通常代数语境的同构不同，这个函子与它的逆不必是恒等映射，二只要每个对象自然同构与在此复合函子下的像。从而我们可以说这个函子是差一个同构下的逆。这实际上是范畴的同构的概念，其中要求逆函子的严格性质，但这比“等价”概念用得要少。

正式定义为，给定两个范畴 C 与 D，一个范畴等价包括函子 F : C → D，函子 G : D → C，以及两个自然同构 ε: FG→ID 与 η : IC→GF。这里 FG: D→D 与 GF: C→C 分别为 F 与 G 的复合，而 IC: C→C 与 ID: D→D 分别为 C 与 D 的恒同函子。如果 F 与 G 是反变函子我们则说范畴的对偶。

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1433年底西吉斯蒙德正式加冕为神圣罗马皇帝，匈雅提回到匈牙利，被国王雇用为「宫廷骑士」。1437年西吉斯蒙德国王去世后，其女婿阿尔布雷希特二世（哈布斯堡家族的奥地利大公）接替为匈牙利国王，任命匈雅提到匈牙利南方边境，协助抵挡鄂图曼土耳其的进攻，当时土耳其军逐步占领塞尔维亚（至1438年底已几乎控制塞国），严重威胁到匈牙利的国防安全。1439年他在赛曼德雷沃一地击败土耳其的偏军，让他声名鹊起、广受注目和肯定（国王将他们兄弟擢升为「真正的王国贵族」）。同年匈王阿尔布雷希特领军抵御土耳其，却在战败撤退时因痢疾而死于内斯梅里的战场上。

1439年匈王阿尔布雷希特死时，其遗孀伊丽莎白已怀孕（隔年初生下遗腹子拉斯洛五世），但匈牙利贵族们为免王权架空且急需成年、国力强大的邻国君王来保卫匈牙利，遂在议会上选出波兰国王瓦迪斯瓦夫三世（17岁）继任，在匈国称作「乌拉斯洛一世」。乌拉斯洛国王（兼任波兰王）任命匈雅提为外西凡尼亚总督兼王国大元帅（也成为匈牙利最大的地主），匈雅提则帮助乌拉斯洛击败「伪国王」──奥地利大公拉斯洛五世（1440年5月婴儿拉斯洛被母亲伊莉莎白直接立为匈王）的势力，并获得教宗尤金四世支持乌拉斯洛而结束内战（虽然伊莉莎白将儿子和匈牙利圣伊什特万皇冠带出，逃到奥地利）。匈雅提支持乌拉斯洛的原因是他把击败土耳其视为自己一生的志愿，希望能结合波、匈两国的军事力量来反击土耳其。

1440年乌拉斯洛一世确认为匈牙利国王后，赐予匈雅提五个瓦拉几亚的庄园，以回报他的支持。国王也致力于讨伐土耳其的圣战，组织起一支庞大的十字军（三万人），发动西方世界拯救东罗马帝国的最后尝试。1441-1442年的第一回战事颇为顺利，匈雅提先在1441年的赫尔曼施塔特战役中大破鄂图曼军两万人，杀死土军主帅梅西迪·贝伊，后来又在1442年以训练精良的1.5万大败7万的土耳其军，让他在基督世界享誉国际（被称为土耳其克星），并使威尼斯共和国和教皇尤金四世在财政上加码支持；但是第二回合──1444年的瓦尔纳战役（对上五万土军）却一败涂地。

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