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数学中，一个集合被称为有限集合，简单来说就是元素个数有限，严格而言则是指有一个自然数n使该集合与集合之间存在双射。例如 -15到3之间的整数组成的集合，这个集合有19个元素，它跟集合存在双射，所以它是有限的。不是有限的集合称为无限集合。

也就是说如果一个集合的基数是自然数，那这个集合就是有限的。所有的有限集合都是可数的，但并不是所有的可数集都是有限的，例如所有素数的集合。

有一个定理（Dedekind theorem、参考分划）是：一个集合是有限的当且仅当不存在一个该集合与它的任何一个真子集之间的双射。

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永通桥在通惠河五闸普济闸以东，为通惠河上有名的古桥，因为距离通州老城以西八里之处而得俗名“八里桥”。如今的八里桥处在通州区与朝阳区的交界处。北京地铁八通线八里桥站便位于该桥稍南处。该桥地理位置重要，是明清两朝漕运入京及清朝皇帝东谒清东陵的必经之道，也是通州通往北京城的要道。该桥是北京三大具有防御功能的古桥之一（其他两座是卢沟桥、朝宗桥）。另一种说法称该桥是拱卫京师四大桥之一（其他三座是卢沟桥、朝宗桥、马驹桥）。

永通桥始建于明朝正统十一年（1446年）。正统帝赐桥名“永通”。《永通桥记》载：“通州城西八里河，京都诸水汇流而东。河虽不广，每夏秋之交雨水泛滥，常架木为桥，比舟为梁，数易辄坏。”所以明朝朝廷决定在这里兴建该石桥。该桥平面呈南北向，横跨在通惠河上，为三孔联拱实心栏板石桥。此桥长50米，宽16米，两侧设有石栏，每侧望柱各33根，每个望柱头雕有石狮，石狮神态各异，堪与卢沟桥的石狮媲美。此桥桥面由花岗石铺成，各桥石之间用铁连嵌，使桥面连成一体，非常坚固。桥身用灰土填实夯固，灰土外有砖墙。四只石雕镇水兽卧在雁翅上。为使通惠河行船方便，该桥中间的券孔非常高大，两侧桥洞则小很多。旧时民间谚语称：“八里桥下不落桅”，称赞此桥通行船只之便利。

清朝咸丰十年（1860年），在第二次鸦片战争中，清朝遭到英法联军进攻，天津、通州先后失守。清政府调集3万军队，于1860年9月21日在永通桥（八里桥）和英法联军血战，史称八里桥之战。八里桥为北京至天津间的水路要地，东距通州八里，西距北京城三十里。英法联军若从通州进攻北京城，须经八里桥。清军在八里桥准备同英法联军决战。当时清军统帅僧格林沁在奏折中向朝廷立誓：“奴才等现在督带官兵退八里桥以扼赴京道路。奴才等赶紧再振军心，倘该夷由通（州）上犯，奴才等惟有与之以死相拼。”清军在八里桥与英法联军遭遇，战况极其惨烈。僧格林沁率蒙古马队多次冲锋，皆未成功，清军在英法联军枪炮攻击下死伤惨重，但守桥的清军仍非常英勇，“他们中没有一个后退，全都以身殉职。”在八里桥之战中，清军损失2万多人，英法联军仅损失12人（一说损失为1200人）。最终，清军失守八里桥。据参加战斗的法国军人回忆，战斗自清晨七时许开始，直打到中午。在大炮轰击之下，八里桥的石栏被炸得粉碎，很多石狮被炸毁，桥面上堆满清军官兵尸体。

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